اثبات علاقة تكافؤ الطاقة والكتلة E = mc2

استنتاج E = mc2
استخدم آينشتاين تجربة ذهنية ذكية لكي يصل إلى هذه المعادلة التي تصف العلاقة بين الكتلة و الطاقة.
أولا، دعنا نأخذ جسيما ضوئيا )فوتون.( إن إحدى الخواص المثيرة للاهتمام التي يملكها الفوتون هي كمية الحركة
)الزخم(،
و مع ذلك فإنه لا يملك كتلة! و أول من درس كمية حركة الموجات الكهرومغناطيسية هو ماكسويل في منتصف القرن
التاسع عشر الميلادي.
إذا كنت –أيها القارئ- مطلعا على الفيزياء الأساسية؛ فإننا نعلم أن كمية الحركة تتكون من مركبتين هما: الكتلة و
السرعة.
و لنا أن نطرح السؤال التالي: كيف تكون للفوتون كمية حركة على الرغم من أنه لا يملك كتلة؟ إن فكرة آينشتاين
العظيمة هي أن طاقة الفوتون لا بد أن تكافئ قدرا محددا من الكتلة،
و بالتالي يمكن أن ترتبط –طاقة الفوتون- بكمية الحركة.
إن تجربة آينشتاين الذهنية توصف بما يلي:
أولا، تخيل صندوقا ثابتا يطفو في أعماق الفضاء. بداخل الصندوق، ينبعث فوتون و يسير من جهة اليسار إلى اليمين.
طالما أن كمية حركة أي نظام فيزيائي محفوظة؛ فإن الصندوق لا بد أن يرتد إلى جهة اليسار عندما ينبعث الفوتون. و
بعد وقت ما يصطدم الفوتون بالطرف الآخر للصندوق ناقلا كل كمية حركته إلى الصندوق.
إن كمية حركة النظام محفوظة؛ لذلك فإن أثر ذلك الاصطدام هو أن يتوقف الصندوق عن الحركة.
و لكن هناك مشكل لسوء الحظ. طالما أنه لا توجد قوى خارجية مطبقة على النظام، فلا بد أن يبقى مركز كتلة النظام في
الموضع نفسه.
و لكن الصندوق قد تحرك! فكيف يمكن لحركة الصندوق أن تبقى متوافقة مع بقاء مركز كتلة النظام ثابتا؟
لقد حلّ آينشتاين هذا التناقض الظاهر، و ذلك بأن اقترح أنه لا بد من وجود كتلة مكافئة لطاقة الفوتون.
بعبارة أخرى، طاقة الفوتون لا بد أن تكون مكافئة لكتلة تتحرك من اليسار إلى اليمين داخل الصندوق. و زيادة على
ذلك، لا بد أن تكون تلك الكتلة كبيرة بدرجة كافية لإبقاء مركز كتلة النظام ثابتا!
دعنا الآن نفكر و نحاول أن نمثل هذه التجربة الذهنية رياضيًّا.
سوف نستخدم علاقة ماكسويل لكمية حركة الموجة الكهرومغناطيسية التي تملك طاقة ما، و ذلك لكي نعطي الفوتون
الذي ندرسه كمية حركة ما.
إذا كانت طاقة الفوتون هي ،Eو سرعة الضوء هي C؛ فإن كمية حركة الفوتون تعطى –حسب ماكسويل- كالتالي:

  P=E/C ------(1

أما الصندوق الذي كتلته Mفسوف يرتد ببطء في الاتجاه المعاكس لاتجاه حركة الفوتون، و ذلك بسرعة قدرها .vلذلك
ستكون كمية حركة الصندوق هي:

Pbox=MV  ---------(2

سوف يستغرق الفوتون وقتا قصيرا t⧍ لكي يصل إلى الطرف الآخر من الصندوق. و خلال ذلك الزمن سيكون
الصندوق قد تحرك مسافة قصيرة x⧍. و لذا فإن سرعة الصندوق ستكون:

  v=⧍x/⧍t -------(3

  

 و من حفظ كمية الحركة لدينا:

M∆x/∆t=E/C--------(4

إذا كان طول الصندوق ،Lفسيكون الوقت الذي يستغرقه الفوتون ليصل إلى الجهة الأخرى من الصندوق هو:

∆t=L/C------(5

و بتعويض ذلك في معادلة حفظ كمية الحركة ) (4مع إعادة 

الترتيب نحصل على:

M∆x=El/C------(6

الآن، دعنا نفترض في هذا الوقت أن الفوتون يمتلك كتلة ما! نرمز لها بـ .mفي هذه الحالة يمكن أن نحسب مركز
الكتلة للنظام ككل. فإذا كان موضع الصندوق هو ،x1و كان موضع الفوتون x2؛ فإن مركز كتلة النظام هو:

x ̅=Mx1+mx2/M+m-----(7

و يلزمنا –كما ذكرنا سابقا- أن يكون مركز كتلة النظام ثابتا؛ لذلك فإن مركز الكتلة في بداية التجربة لا بد أن يكون
نفسه في نهاية التجربة. و رياضيا:

Mx₁+mx₂/M+m=M(x₁-∆x)+ml/M+m -----(8

و طالما أن الفوتون يبدأ الحركة من يسار الصندوق، لذا فإن .x2 = 0و بإعادة ترتيب المعادلة ) (8و تيسيرها نحصل
على:

ml=M∆x ----(9

و بتعويض المعادلة ) (4في المعادلة ) (9نحصل على:

ml=El/c^{2 -------(10}

و بإعادة ترتيب العلاقة نحصل على المعادلة النهائية:

E=mc²

دعنا نفكر الآن، ماذا تعني هذه المعادلة. تقترح هذه المعادلة أن كتلةً معطاة يمكن أن تتحول إلى طاقة. و لكن، كم مقدار
هذه الطاقة؟
إذا افترضنا أن لدينا كتلة ما قدرها ، فإن تحويل هذه الكتلة إلى طاقة يعطي ما مقدراه
) ( جول من الطاقة.
و بمعرفة أن ؛فإن الطاقة الناتجة هي طاقة هائلة تكافئ 48.21
!!TNT منMTon
في الواقع، لا يمكن تحويل الكتلة كلها إلى طاقة. و لكن هذه المعادلة قادت بشكل مباشر تطوير الطاقة النووية و القنبلة
النووية. و في الغالب، تلك هي النتيجة الملموسة للنسبية الخاصة!