الجذر التربيعي للعدد

في الرياضيات، الجذر التربيعي أو الجذر المربع، للعدد x هو العدد y الذي إذا ضرب في نفسه ينتج العدد x. على سبيل المثال،

$\sqrt 9 = 3$

$3^2 = 3\times3 = 9$ .

الجذر التربيعي للعدد المربع الكامل. 5×5 = 25 = 25. يقال: 5×5 هي عملية تربيع للعدد 5.

لا يوجد جذر تربيعي للأعداد السالبة ضمن مجموعة الأعداد الحقيقية.

الخصائص

مخطط تابع الجذر التربيعي f(x) = √x,حيث يأخذ شكل نصف قطع مكافئ.

تابع الجذر التربيعي ذو الشكل f(x) = √x هو تابع يربط مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة R⁺ ∪ 0 بنفسها، ومثله مثل جميع التوابع الأخرى فإنه ينتج دائماً قيمة فريدة.

في مصطلحات الهندسة الرياضية فإن الجذر التربيعي لمساحة مربع يعطي طول ضلع هذا المربع.

من أجل جميع أي عدد حقيقي x

$\sqrt{x^2} = \left|x\right| = \begin{cases} x, & \mbox{if }x \ge 0 \\ -x, & \mbox{if }x \le 0 \end{cases}$

من أجل أي عددين حقيقين موجبين x، y يتحقق

$\sqrt{xy} = \sqrt x \sqrt y$

$\sqrt x = x^{\frac{1}{2}}.$

يعطى مشتق تابع الجذر التربيعي بالعلاقة:

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt x}.$

تعطى سلسلة تايلور للحد √1 + x حول x = 0 بالعلاقة:

$\sqrt{1 + x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 + \dots\!$

الحساب

الجذر التربيعي للأعداد السالبة وللأعداد العقدية

انظر إلى سطح ريمان

الجذر التربيعي لعدد تخيلي صِرف

الذور التربيعية ل i في المستوى العقدي

يُعطى الجذر التربيعي ل i بما يلي:

$\sqrt{i} = \frac{1}{2}\sqrt{2} + i\frac{1}{2}\sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i).$

يُمكن الحصول على هاته النتيجة جبريا من خلال البحث عن العددين الحقيقين a و b حيث

$i = (a+bi)^2\,\!$

أي

$i = a^2 + 2abi - b^2.\,\!$

هذا يعطي المعادلتين المترابطتين التاليتين:

$\begin{cases} 2ab = 1\,\! \\ a^2 - b^2 = 0\,\! \end{cases}$

انظر إلى صيغة دي موافر.

الجذر التربيعي الرئيسي لعدد عقدي

صيغة جبرية

ملاحظات

الجذر التربيعي للمصفوفات

مقالة مفصلة: الجذر التربيعي لمصفوفة

وحدانية الجذر التربيعي في الحلقات العامة

جذور الأعداد الطبيعية

الأرقام التي لها جذر تربيعي في مجموعة الأعداد الصحيحة بالتسلسل:

1=1 أول رقم له جذر تربيعي
1 + 3 = 4 ثاني رقم له جذر تربيعي
1 + 3 + 5 = 9 ثالث رقم له جذر تربيعي
1 + 3 + 5 + 7 = 16 رابع رقم له جذر تربيعي
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 خامس رقم له جذر تربيعي
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 سادس رقم له جذر تربيعي
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 =49 سابع عدد له جذر تربيعي
وهكذا بالتسلسل ^[1]

طرق حساب الجذر التربيعي

اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

في التحليل العددي، هناك عدة طرق لحساب الجذر التربيعي الرئيسي (أي الموجب) لعدد حقيقي موجب. عادة ما تعطي هاته الطرق قيمة مقربة للجذر التربيعي المراد حسابه.

الطريقة البابلية

Graph charting the use of the Babylonian method for approximating the square root of 100 (10) using starting values x₀ = 50, x₀ = 1, and x₀ = −5. Note that using a negative starting value yields the negative root.

مثال

لحساب $\sqrt{S}$ , حيث S = 125348,

$x_0 = 6 \cdot 10^2 = 600.000. \,$

$x_1 = \frac{1}{2} \left(x_0 + \frac{S}{x_0}\right) = \frac{1}{2} \left(600.000 + \frac{125348}{600.000}\right) = 404.457.$

$x_2 = \frac{1}{2} \left(x_1 + \frac{S}{x_1}\right) = \frac{1}{2} \left(404.457 + \frac{125348}{404.457}\right) = 357.187.$

$x_3 = \frac{1}{2} \left(x_2 + \frac{S}{x_2}\right) = \frac{1}{2} \left(357.187 + \frac{125348}{357.187}\right) = 354.059.$

$x_4 = \frac{1}{2} \left(x_3 + \frac{S}{x_3}\right) = \frac{1}{2} \left(354.059 + \frac{125348}{354.059}\right) = 354.045.$

$x_5 = \frac{1}{2} \left(x_4 + \frac{S}{x_4}\right) = \frac{1}{2} \left(354.045 + \frac{125348}{354.045}\right) = 354.045.$

هكذا, $\sqrt{125348} \approx 354.045 \,.$

( 3 +2t)(2tـ3)

طريقة القيمتين الدنيا والقصوى

التمثيل العشري

تمكن من حساب قيمة تقريبية لجذر مربع عدد ما.

يقسم العدد من اليمين إلى اليسار، إلى زمر من رقمين:مثلا 11878 يصبح 78 18 1.
نبحث عن الجذر القريب للزمرة الأولى أقصى اليسار:هنا 1 والجذر هو 1.
نحسب الباقي الزمرة ناقص مربع العدد:هنا نجد 0.
ننزل الزمرة الموالية إلى جانب الباقي:هنا نحصل على18 أي 018
نضاعف الجذر الجزئي المحصل عليه حاليا:هنا 2.
نحدف رقم الوحدات للعدد المحصل عليه في 4:نحصل على 1.
نقسم العدد المحصل عليه في 6، على العدد المحصل عليه في 5، والعدد المحصل عليه سيكون هو الرقم الموالي للجذر:هنا 1 على 2 تساوي 0.
نضع الرقم المحصل عليه في 7 على يمين العدد المحصل عليه في 5:هنا نجد 20
نضرب العدد المحصل عليه في 8، في العدد المحصل عليه في 7:هنا نجد 20 في 0 يساوي 0.
نطرح من العدد المحصل عليه في 4، العدد المحصل عليه في 9:هنا نجد 18 وفي حالة الحصول على عدد سالب نطرح واحد من العدد المحصل عليه في 7 ونستأنف العملية.
ننزل الزمرة الموالية إلى جانب الباقي المحصل عليه في 10:هنا نجد 1878
نعيد العمليات انطلاقا من المرحلة 5.

0 التعليقات:

إرسال تعليق

Item Reviewed: الجذر التربيعي للعدد Description: في الرياضيات، الجذر التربيعي أو الجذر المربع، للعدد x هو العدد y الذي إذا ضرب في نفسه ينتج العدد x. على سبيل المثال، . الجذر التربيعي للعدد المربع الكامل. 5×5 = 25 = 25. يقال: 5×5 هي عملية تربيع للعدد 5. لا يوجد جذر تربيعي للأعداد السالبة ضمن مجموعة الأعداد الحقيقية. Rating: 5 Reviewed By: شبكة الصادق العامة

728x90 AdSpace

الجذر التربيعي للعدد

الجذر التربيعي للعدد

الخصائص

الحساب