قواعد الاشتقاق

قواعد الاشتقاق

فيما يلي سرد بتفاضلات العديد من الدوال الرياضية. .باعتبار أن f وg دوال قابلة للتفاضل, من أعداد حقيقية, وc عدد حقيقي. وهذه الصيغ كافية لمفاضلة أي دالة أساسية.

قواعد عامة في التفاضل

التفاضل خطي

مقالة مفصلة: خطية التفاضل

\left({cf}\right)' = cf'

\left({f + g}\right)' = f' + g'

قاعدة الضرب

\left({fg}\right)' = f'g + fg'

اشتقاق دالة هي عبارة عن حاصل ضرب دالتين يساوي الأولى ضرب مشتقة الثانية + الثانية ضرب مشتقة الأولى.

\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}, \qquad g \ne 0

قاعدة المقلوب

\left(\frac{1}{f}\right)' = \frac{-f'}{f^2}, \qquad f \ne 0

قاعدة القسمة

\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}, \qquad g \ne 0

قاعدة التسلسل

(f \circ g)' = (f' \circ g)g'

مشتقة دالة المعكوس

(f^{-1})' =\frac{1}{f' \circ f^{-1}}

لأي دالة قابلة للتفاضل f لها قيم حقيقية, عندما تتواجد مركباتها ومعكوساتها.

قاعدة الاس العامة

(f^g)' = \left(e^{g\ln f}\right)' = f^g\left(f'{g \over f} + g'\ln f\right),\qquad f> 0

مشتقات دوال بسيطة

c' = 0 \,

x' = 1 \,

(cx)' = c \,

|x|' = {x \over |x|} = \sgn x,\qquad x \ne 0

(x^c)' = cx^{c-1} \qquad \,

حيث كلا من

x^c\,

cx^{c-1}\,

هي دوال معرفة

\left({1 \over x}\right)' = \left(x^{-1}\right)' = -x^{-2} = -{1 \over x^2}

\left({1 \over x^c}\right)' = \left(x^{-c}\right)' = -cx^{-(c+1)} = -{c \over x^{c+1}}

\left(\sqrt{x}\right)' = \left(x^{1\over 2}\right)' = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}} = {1 \over 2 \sqrt{x}} , \qquad x> 0

مشتقات دوال أسية

\left(c^x\right)' = {c^x \ln c },\qquad c> 0

المعادلة السابقة صحيحة لأي c, ولكن ينتج عن التكامل عدد مركب.

\left(e^x\right)' = e^x

\left(\log_c x\right)' = {1 \over x \ln c}, \qquad c> 0, c \ne 1

المعادلة السابقة صحيحة أيضا لأي c, ولكن ينتج عن التكامل عدد مركب.

\left(\ln x\right)' = {1 \over x}, \qquad x \ne 0

\left(\ln |x|\right)' = {1 \over x}

\left(x^x \right)' = x^x(1+\ln x)

مشتقات دوال مثلثية

مقالة مفصلة: تفاضل دوال مثلثية

$(\sin x)' = \cos x \,$	$(\arcsin x)' = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,$
$(\cos x)' = -\sin x \,$	$(\arccos x)' = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,$
$(\tan x)' = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} \,$	$(\arctan x)' = { 1 \over 1 + x^2} \,$
$(\sec x)' = \sec x \tan x \,$	$(\arcsec x)' = { 1 \over \|x\|\sqrt{x^2 - 1}} \,$
$(\csc x)' = -\csc x \cot x \,$	$(\arccsc x)' = {-1 \over \|x\|\sqrt{x^2 - 1}} \,$
$(\cot x)' = -\csc^2 x = { -1 \over \sin^2 x} \,$	$(\arccot x)' = {-1 \over 1 + x^2} \,$

مشتقات دوال زائدية

$(\sinh x)'= \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$	$(\operatorname{arsinh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}$
$(\cosh x)'= \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$	$(\operatorname{arcosh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}$
$(\tanh x)'= \operatorname{sech}^2\,x$	$(\operatorname{artanh}\,x)' = { 1 \over 1 - x^2}$
$(\operatorname{sech}\,x)' = - \tanh x\,\operatorname{sech}\,x$	$(\operatorname{arsech}\,x)' = {-1 \over x\sqrt{1 - x^2}}$
$(\operatorname{csch}\,x)' = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{csch}\,x$	$(\operatorname{arcsch}\,x)' = {-1 \over x\sqrt{1 + x^2}}$
$(\operatorname{coth}\,x)' = -\,\operatorname{csch}^2\,x$	$(\operatorname{arcoth}\,x)' = { -1 \over x^2-1}$